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Lineare Gleichungssysteme

Bei linearen Gleichungssystemen sind mehrere lineare Gleichungen gegeben, die gleichzeitig erfüllt sein sollen. Zunächst wird ein einfaches Beipiel mit 2 Gleichungen angeführt:

x + y = 2
x - 3y = 1

Aus den einzelnen Gleichungen kann man noch keine Werte für x und y bestimmen. Man muß mit geeigneten Verfahren eine Gleichung produzieren, in der nur noch eine der Variablen vorkommt. Entweder kann eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst und das Ergebnis dann in die andere Gleichung eingesetzt werden (Einsetzungsverfahren), oder man kann das Additionsverfahren verwenden. Hierbei addiert oder subtrahiert man zu der einen Gleichung ein Vielfaches der anderen Gleichung, so daß eine der Variablen aus der entstehenden Gleichung herausfällt. In dem Beispiel kann man einfach von der ersten Gleichung die zweite Gleichung abziehen.

x
+
y
=
2
  
-(
x
-
3y
=
1
 )
0
+
4y
=
1
  
Aus der so entstandenen Gleichung kann nun y berechnet werden:und das Ergebnis dann in eine der ursprünglichen Gleichungen eingesetzt werden:
 4y = 1 |÷4
<=> y = 0,25  
Das Ergebnis kann jetzt in eine der ursprünglichen Gleichungen eingesetzt werden (nachfolgend wird die erste Gleichung gewählt):
x
+
0,25
=
2
|-0,25
<=>
x
=
1,75
Die Lösung lautet somit x=1,75 und y=0,25.
Wenn die Anzahl der Gleichungen größer ist, kann vom Prinzip her genauso verfahren werden; es seien beispielsweise folgende 3 Gleichungen gegeben:

2x - 2y = 0
 x +  y - 1 = - 2z
 x +  y + z = 1

Hier muß man zunächst zwei Gleichungen erzeugen, in denen nur noch zwei bestimmte Variable vorkommen. Die meisten werden bei derartigen Berechnungen schon einmal erlebt haben, daß man sehr schnell den überblick verliert und sich verzettelt. Noch problematischer wird dies natürlich bei 4, 5 oder noch mehr Gleichungen. Daher erscheint es sinnvoll, zur Lösung dieser Gleichungen eine gewisse formale Strenge einzuhalten. Wie man dies macht, wird im folgenden beschrieben, wobei es sich einfach um eine Anwendung des Additionsverfahrens handelt. Zunächst formt man die Gleichungen so um, daß alle Variablen auf der linken Seite und alle einzelnen Zahlen oder Konstanten auf der rechten Seite stehen. In dem Beispiel sind die erste und dritte Gleichung bereits in der geforderten Form gegeben. Nur die zweite muß umgeformt werden:

 x + y + 2z = 1

Nun schreibt man die Gleichungen untereinander, wobei man darauf achten muß, daß die geichen Variablen direkt untereinander stehen:

2x - 2y      = 0 | ÷2
 x +  y + 2z = 1
  x +  y +  z = 1

Nun wird zunächst dafür gesorgt, daß die erste Variable in allen Gleichungen in gleicher Anzahl vorkommt. Hierzu wird die erste Gleichung durch 2 geteilt:

 x -  y      = 0
 x +  y + 2z = 1 | - I
 x +  y +  z = 1 | - I

Nun wird in der zweiten und dritten Zeile das x eliminiert. Hierzu werden zu diesen Gleichungen geeignete Vielfache der ersten Gleichung addiert oder subtrahiert. In diesem Fall muß von der zweiten und dritten Gleichung einmal die erste Gleichung abgezogen werden. Hinter den zuvor angeführten Gleichungen wird dies durch die römischen Zahlen hinter den Gleichungen angedeutet. Werden diese Rechnungen ausgeführt, ergibt sich:

 x -  y      = 0
 0 + 2y + 2z = 1
 0 + 2y +  z = 1 | - II

In der zweiten und dritten Gleichung kommen nur noch y und z vor. Somit kann aus diesen Gleichungen eine neue Gleichung, in der nur noch eine Variable auftaucht, ermittelt werden. Dies wird nachfolgend erreicht, indem, von der dritten Gleichung die zweite Gleichung abgezogen wird:

 x -  y      = 0
 0 + 2y + 2z = 1
 0 +  0 -  z = 0

In der letzten Gleichung steht nun schon, wie groß z ist. Dieses Ergebnis kann man dann in die zweite Gleichung einsetzen, um y zu bestimmen, und durch Einsetzen des Ergebnisses für y in die erste Gleichung erhält man dann x:

z = 0

=> 2y + 2*0 = 1 | ÷2
<=> y = 0,5

=> x - 0,5 = 0 | + 0,5
<=> x = 0,5

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Letzte Änderung dieser Seeite: Dienstag, 27.04.2004